Amor BELHEDI,
FSHS, Université de Tunis
Le modèle général Le Trend ou la Tendance Générale La Composante Saisonnière La composante Cyclique La composante résiduelle L'Auto-corrélation La Covariation La Régression Temporelle
Introduction Présenter & Décrire une variable Réduire & Résumer une distribution Notions et Distributions de Probabilités Corrélation & Régression linéaire simple Corrélation & Régression simples courbes Test de Khi-deux Corrélation dans un tableau Chroniques & Distributions temporelles Corrélation & Régression multiples Droites des Moindres Rectangles Analyse Factorielle Classification & Typologie Tests des hypothèses Sondages & Distributions d'échantillonnage Quelques Eléments de calcul matriciel Tables Statistiques Papiers Fonctionnels Bibliographie Sommaire
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Le trend est l'allure générale de la distribution qui décrit le mouvement d'ensemble du phénomène à long terme indépendamment des variations de petites échelles qui se situent à long (variation cyclique), moyen (v. saisonnière) ou court termes (v. aléatoire). C'est le cas par exemple de l'évolution du trafic du port de la Goulette entre 1968 -1994 ou de l'évolution de la température moyenne à Tunis entre 1970 -2001....
On peut représenter ce trend par une fonction du temps : T = f(t). Cette relation peut être de différentes formes selon le nuage de points et la nature du processus étudié qui peut être additive ou multiplicative mais on sait que quelque soit le modèle adopté, on est souvent amené à linéariser la relation pour pouvoir l'analyser.
2- La composante saisonnière
De nombreux phénomènes fluctuent dans le temps et présentent des variations saisonnnières, des variations relativement régulières, rythmées à moyen terme présentant une périodicité relativement fixe à l'échelle de la saison proprement dite (été, hiver...), du mois, du jour ou de l'heure ou même moins. C'est le cas des rythmes saisonniers de la température ou des précipitations en cmlimatologie, de l'activité touristique, du trafic de circulation urbaine ou inter-urbaine...
La représentation graphique peut être sous forme d'un nuage de points lissé susceptible d'exprimer les fluctuations saisonnières, elle peut être opére aussi sous forme d'un graphique polaire où les rayons représentent les saisons tandis que les valeurs expriment les données saisonnières.
3- La composante cyclique ou conjoncturelle
Les données présentent parfois des variations assez régulières se présentant au niveau du long terme entre la saisonnalité et la tendance générale appelées cycles. Le cycle peut couvrir des périodes variables mais il faut avoir des séries assez longues pour qu'une tendance cyclique puisse apparaître. C'est la composante cyclique ou conjoncturelle qui se situe à long terme. C'est le cas par exemple des cycles de sécheresse en Tunisie qui prennent 3- 5 ans avec des intervalles de 8-10 ans, c'est le cas aussi des cycles d'expansion et de crise en économie que connaissent la plupart des pays....
4- La composante résiduelle ou aléatoire
La composante résiduelle ou aléatoire est la part de l''information qui n'est pas prise en compte par les trois premières composantes (le trend, la variation saisonnière et cyclique), c'est la composante qui est restée inexpliquée par le modèle général, elle peut être due à des facteurs locaux spécifiques ou totalement aléatoires. Certains facteurs interviennent pour déterminer l'évolution des choses durant un certain temps sans qu'ils donnent lieu à des variations saisonnières ou cycliques ou qu'ils soient intégrés dans le mouvement d'ensemble, c'est pourquoi nous préférons le rerme de résiduelle à aléatoire.
5- Formulation de la chronique
On peut formuler la chronique comme une fonction de quatre composantes: le trend (T), la saison (S), le cycle (C) et le résidu (R) de la manière suivante: y = f(T, S, C, R)
L'effet de ces quatre composantes peut prendre des formes différentes et très complexes mais on peut penser que deux formes sont très utilisées:
- Le relation additive: les effets des différentes composantes s'ajoutent les uns aux autres de telle manière que la relation générale prend une forme linéaire comme ci-dessous:
y = f(T + S + C + R) ou y = T(t) + S(t) + C(t) + e
C'est le cas de par exemple de l'évolution de la température avec ou sans tendance au réchauffement pendant une période relativement longue de 30 ans. Le terme e remplace ici la composante résiduelle (R) ou aléatoire comme dans le modèkle général de la régression.
- La relation multiplicative: les effets des différentes composantes sont multiplicatifs les uns par rapport aux autres ce qui explique le processus d'amplification ou d'extinction des phénomènes. On peut citer le processus de croissance en spirale, les tendances exponentielles d'amplification ou d'extinction: multiplication des cellules, processus de diffusion, dégénerescence... La relation s'écrit sous la forme: y = f(T*S*C + R) ou y = T(t).S(t).C(t) + e
L'analyse d'une série chronologique consiste essentiellement à filtrer les différentes composantes par étapes successives: la tendance générale ou trend d'abord, la composante saisonnière ensuite, enfin la composante cyclique si jamais elle existerait. La composante résiduelle est celle qui résiste au filtrage et reste en dernier lieu.
II LA TENDANCE GENERALE OU LE TREND
On peut utiliser la méthode des moyennes mobiles pour lisser la tendance. Elle consiste à calculer pour chaque valeur xi, la moyenne d'une petite série impaire de 3, 5, 7 valeurs encadrantes et relier les différents points. Pour les séries mensuelles, on utilise une période de 13[1]. La méthode raccourcit la chronique (on perd 4 valeurs pour une période de 5) et le filtrage n'est pas complet avec une autocorrélation du bruit, la métode est déconseillée pour une chronique aléatoire. C'est pour cela qu'on utilise souvent la méthode des moindes carrés.
On peut formuler la tendance générale ou trend sous forme d'une relation linéaire de la forme y = f(t). Si le nuage de points se présente sous la forme d'une courbe ou des consiédérations théoriques permettent de spécifier le type de relation, il y a lieu de linéariser la relation.
1- Le modèle
On écrit alors le trend comme suit: y = at + b avec y : la variable étudiée, t : la variable temps, a: la pente et b: l'intersection du Trend avec l'axe de y.
On retrouve ici le problème de la corrélation et de la régression linéaires simples qu'on a vues dans un chapitre précédent. La méthodologie a adopter est la même à la seule différence que la variable t remplace ici x.
r = Cov yt/sy.s avec : Cov yt = Syt/n - yata et a = Cov yt/s2t b = ya - ata
2- L'u